Fractales

En la naturaleza se perciben formas aparentemente irregulares, las cuales ya no pueden ser estudiadas por la Geometría Euclidiana. Para esto usamos la Geometría Fractal, la cual se encarga de abstraer las formas de la naturaleza, siendo así su objeto de estudio los fractales.

¿Qué es un fractal?

Un fractal es una figura compuesta de infitos elementos, sin importar si es plana o espacial, tal que tendrá las mismas características a cualquier escala con la que se observe. Decir que los rayos son líneas rectas, que las montañas son una especie de cono o que las nubes son elípticas, es excluir las irregularidades que en ellos se presentan. En la naturaleza no es trivial describir aquellas formas, dado que no es sufíciente aplicar las propiedades euclidianas por lo que es necesario buscar una nueva manera de poder describirlas, para todo esto usamos la Geometría Fractal pero, ¿qué es la Geometria Fractal?. Esta pregunta se responde diciendo: La Geometría Fractal es la disciplina que tiene como objetivo abstraer las formas de la naturaleza. También se le conoce como Geometría de la naturaleza.

¿Cómo surgen los fractales?

Hacia el año 1958, Benoit Mandelbrot comienza una investigación en los laboratorios de IBM acerca del análisis del ruido y las perturbaciones eléctricas. Durante sus estudios encuentra un patrón de comportamiento y comienza a descifrar una estructura escondida que se repite a diversas escalas. Conforme avanzan sus investigaciones, llega a una sencilla pregunta que ejemplifica lo que acaba de descubrir. Esta pregunta es la siguiente: ¿Cuánto mide la costa de Inglaterra?

Esta pregunta puede parecer absurda puesto que con cualquier libro de geografía se puede contestar fácilmente. Ahora bien, imaginemos un valor x finito como resultado de la medición realizada, pero, ¿cómo se hizo la medición? Para contestar a esto se proponen tres situaciones:

  • Observación de la costa desde un satélite. Los bordes parecen suaves y redondeados.
  • Observación de la costa desde un avión. Ahora observamos con más detalle los bordes de la costa, los cuales nos parecerán más rugosos.
  • Observación de la costa desde la superficie terrestre. En esta ocasión medimos centímetro a centímetro cada rugosidad del terreno.

¿Cuál sería el resultado de la medición en cada caso? ¿Serían iguales o diferentes? Evidentemente estos resultados serían diferentes puesto que como podemos comprobar, una figura con bordes rectos tiene una longitud menor que la misma figura con los bordes rugosos. Por lo tanto, nuestras mediciones dependerían en gran medida de la escala a la que las realicemos.

Tipos de fractales

Para distinguir los distintos tipos de fractales nos basamos en varias de las características que poseen. De este modo podemos clasificarlos según las siguientes características:

  • Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un cambio en la variación de sus escalas. Esto implica que los fractales lineales son idénticos en sus escalas hasta el infinito. Podemos hacernos una idea viendo las siguientes imágenes:

 

Fractales y la Teoría del Caos

La teoría del caos tiene un fuerte trasfondo filosófico. El enfrentamiento entre el orden y el caos, o entre reaccionismo y determinismo postulan nuevas preguntas que dan lugar a la llamada “Nueva Ciencia”.

Los fractales no lineales o complejos implican caos, pero el caos no implica a fractales, es decir, la teoría del caos no se basa únicamente en la geometría fractal.

Los sistemas caóticos son aquellos que se encuentran afectados directamente por sus condiciones iniciales, transformándolos en el transcurso del tiempo en sistemas imposibles de predecir.

Podemos poner como ejemplo el llamado “efecto mariposa”, el cual estipula que pequeñas variaciones en las condiciones iniciales de un sistema dinámico pueden producir grandes variaciones en el comportamiento del sistema a largo plazo. Se dice para ejemplificar esta definición que si una mariposa aletea en Tokio, bajo determinadas circunstancias es posible que la onda que produce el aleteo viaje y se potencie originando un huracán en el Caribe. Por lo tanto nos encontramos ante un fenómeno prácticamente imposible de predecir. Vemos pues que cualquier sistema regido por las leyes de la naturaleza en un momento dado se puede transformar en un sistema totalmente caótico que esté regido más por el azar que por las leyes de la naturaleza.

Nos resulta importante conocer los puntos de inflexión dónde se produce el cambio entre el orden y el caos. Esto nos lleva a enunciar tres postulados importantes sobre la teoría del caos:

  • Para la teoría del caos no existen sistemas ni 100% ordenados ni 100% caóticos. Esta teoría acepta tanto al orden como al caos y lo relaciona en una dualidad de la siguiente manera:

    “En todo sistema ordenado, el caos siempre está presente o implícito”

    “En todo sistema caótico, el orden siempre está presente o implícito”

  • Imaginemos un sistema ordenado. En todo momento este sistema permanece ordenado pero lleva implícito consigo el mismo caos, que va trabajando poco a poco muy silenciosamente y en un determinado punto se apoderará por completo del mismo produciendo consecuencias insospechadas.
  • Por más que un sistema haya derivado en caos o se haya vuelto ordenado y estable, potencialmente vuelve a pasar al estado inverso. Ahora, aquel que era estable y derivó en caos vuelve a llevar implícito consigo mismo el volver a transformarse nuevamente en orden. Y aquel que era caótico y desordenado y derivó en orden, ahora lleva el caos implícito en su esencia. Esto lleva a conformar un circuito que no es ni más ni menos que cómo se genera y se construye la naturaleza.

 

Referencias

  • -Saray Pool Domínguez. (2012). La Geometría Fractal y su relación con la naturaleza. 05/10/2016, de Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán.

Alejandro Vega Ossorio

Director técnico de Corporación Planetarios.

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